[extasy]

Hello

Bienvenue dans l'univers fascinant des mathématiques !
L'objet de ce post, ce que je voudrais vraiment faire passer, c'est ce côté souple, inventif, original des raisonnements mathématiques. Que ce n'est pas forcément quelque chose de plus complexe qui permet d'aboutir à un meilleur résultat, mais quelque chose de plus simple, quelque chose de différent.
Oui, à mon avis c'est ça : c'est un regard différent qu'on pose sur les choses.

Donc ! Je ne sais pas si c'est toujours d'actualité, mais si ça intéresse quelqu'un, on va sommer n entiers, poto .

Alors alors !

Pour rester le plus simple possible, on n'a qu'à essayer pour 1 à 5.
Montrez-moi pourquoi :

1+2+3+4+5 = (5*6)/2
1+2+3+4+5+6+7 = (7*8 )/2
Et donc que :
1+2+3+4+5+...+n = [n(n+1)]/2

La réponse que je propose est surtout intuitive. Comme dit plus haut, je fais ça plus pour illustrer le côté astucieux de la trouvaille que pour donner une démonstration rigoureuse.

Je vais garder le spoiler pendant un temps, au cas où certains voudraient tenter l'expérience tous seuls 

Désolé, vous n'êtes pas autorisé à afficher le contenu du spoiler.

Hop là, fini ! On imagine facilement que ce qui marche pour 5 marchera également pour 6, 7, 1000 ou encore 578864. En gros, pour tout n : 1+2+3+4+5+...+n = [n(n+1)]/2.

Après, je répète que ça reste très intuitif comme système. Même si on voit que c'est évidemment la bonne réponse, je pense qu'il faudrait normalement prouver cette évidence, par exemple avec un raisonnement par récurrence. Le raisonnement par récurrence, c'est une méthode pour généraliser une propriété, qui consiste à prouver que ça ne marche pas uniquement jusqu'à un nombre quelconque, mais que ça marchera aussi pour n'importe quel nombre n ; comme ça on est tranquille.
Je veux bien expliquer comment fonctionne la récurrence une autre fois.

Bon sinon je sais pas si tout ça est intéressant ou juste hyper lourd par contre 

[lepion]

passionnante, cette démonstration !
merci beaucoup, exta 

et pour revenir sur les approximations d'anlor concernant la lune :
le Soleil est 400 fois plus imposant que la Lune… mais celle-ci est 400 fois plus proche de la Terre !
ça, tu peux le convertir en n'importe quelle unité de mesure, ça donnera toujours un rapport de 400 
ensuite les autres exemples sont en unités de temps donc je pense qu'on est d'accord (à moins que les Anglais n'utilisent des secondes d'une valeur différente  )
enfin la circonférence de la Terre est de 40000km, soit 4 millions de mètres, ou, chez les Anglais 13,1233592 millions de pieds...
on peut donc en conclure que le mètre est la quatre millionième  unité du tour de notre globe, bref, de quoi prendre largement plus son pied qu'avec l'unité anglaise...

rapport des chiffres 3,6,9, entre la coudée et pi

3 fois 52,36 = 157,08/3,1416 = 50
6 fois 52,36 = 314,16/3,1416 = 100
9 fois 52,36 = 471,24/3,1416 = 150
 

autre exemple :
540 = 5+4+0 = 9
540 coudées = 540 fois 0,5236 mètre = 282,744 mètres
282,744/3,1416 = 90
9+0 = 9
  


edit : fascinante, cette histoire de nuit infinie et de consonance... 
merci ben 

[Alan Tréard]

J'aimerais connaître les mots "nuit" et "huit" en russe du coup 

En japonais, c'est "Yoru", et huit, c'est "hachi" ou "yattsu", donc heu, après je connais pas trop les racines japonaises, tout ça tout ça, mais ça semble pas avoir de lien direct 

EDIT : bon, je calme ma mauvaise langue, c'est vrai que pour le coup, dans l'image ils parlent des "langues européennes". Mais, heu, du coup, on oublie un peu les pays de l'est (les langues slaves du coup). Et ça fait beaucoup de pays européens oubliés.

Mais, euh, quand tu dis "nuit c'est formé de n + 8" c'est faux, c'est pas une question d'interprétation 
Huit, ça vient de "octo" en latin, et nuit, apparemment, on le fait remonter à "nox" mais aussi en sanscrit "nakta" d'où les similitudes entre les langues. C'est sans doute très approximatif, mais euh, l'idée c'est que ce sont deux mots qui n'ont rien à voir, si ce n'est des sonorités qui ont évolué en parallèle.
Ce que je veux dire c'est que l'étymologie c'est une science, c'est pas ces interprétations douteuses foutues sur des mots qui se ressemblent 

Ah ! Oui, il semble que la liberté d'expression et d'opinion est particulièrement présente sur ce forum. J'ai failli douter de la conversation sur le mot nuit, et puis j'ai combattu ce désir ardent afin de laisser ces messieurs débattre tranquillement sur l'origine des mots. Devons-nous réapprendre à nous connaître ? Oui, laissons les esprits savants découvrir les plus grands secrets !

 

Pour en revenir aux origines de la langue, je pense que vous pourrez également dépasser la sphère des mathématiques grâce à l'excellente chronique de Baptiste sur le second podcast qui nous permettait de comprendre l'origine pure de notre langage !!
Chronique de Baptiste
émotions fortes garanties !!

[extasy]

Au fait, comme Zag' avait parlé de micmaths et que Ben a ouvert un fil qui lui est dédié, je suis allé voir ce qu'il fait (et il est vraiment super ce type ; les fans d'échecs, allez voir le problème des cavaliers d'Al Adli !!!)
Du coup je suis aussi allé voir sa démonstration de 1+2+3+... = -1/12.
Je vous rassure, ça n'invalide en rien la formule énoncée plus haut
Voilà, c'était juste pour dire que les deux résultats sont corrects, aussi bizarre que ça puisse paraître 
Je pense que c'est parce que la série en question n'est pas sommable au sens d'Abel ou un truc du genre, mais ça, ça dépasse de très loin mes petites compétences

[ZagZag]

En fait extasy je parlais d'autre chose je crois
Du coup merci pour la démonstration ! En effet c'est assez simple et sympa comme petite règle mathématique

Du coup, si vous le voulez bien je peux montrer ce que j'avais en tête 
Par contre on entre dans des calculs, et je comprends très bien que ça ne puisse pas vous intéresser. Mais sachez que ce ne sera que des équations de base (premier degré, avec une inconnue) avec certes un petit truc en plus.
Donc, c'est bien joli les sommes. Mais que se passerait-il si on additionnait tous les nombres entiers positifs ? Laissez moi vous dire que le résultat est assez... inattendu.
Pour ce faire on va procéder avec des équations intermédiaires. Tout d'abord on pose :
    A=1-1+1-1+1-1+1-...         ("jusqu'à" l'infini)   Et si on calculait -A, pour comparer ?
  -A=-1+1-1+1-1+1-1+...      Et 1-A maintenant ?
1-A=1-1+1-1+1-1+1-...         Ça nous rappelle donc quelque chose, on a :
1-A=A <=> A=1/2            
Jusque là, rien de bien fou. On va donc calculer une autre équation intermédiaire.
            B=1-2+3-4+5-6+7...              Et A+B alors ?
      A+B=2-3+4-5+6-7...                    On remarque donc qu'à s'y méprendre cela ressemble à -B... il manque juste quelque chose :
-1+A+B=-1+2-3+4-5+6-7... =-B    On a donc :
-1+A+B=-B <=> (-3/2)+B=-B <=> B=1/4
Maintenant qu'on en a finit avec les calculs intermédiaires, entrons dans le vif du sujet !
    C=1+2+3+4+5+6+7...     Si on faisait C-B du coup ?
   -B=-1+2-3+4-5+6-7...   
C-B=4+8+12...                      On a donc la table de 4, juste là, devant nos yeux ébahis ! On déduit donc que :
C-B=4.C <=> C-(1/4)=4.C <=> C=-1/12
  Mais qu'est-ce que c'est que ça ?  Incroyable, non ? C'est ça, l'inconnu de l'infini...
Pour plus d'info, vous pouvez aller voir cette vidéo.

Voilà, en espérant que ce soit digeste

Edit et euh... gros fail, exta en a parlé avant que je finisse

[extasy]

Ouip, du coup on a les deux formules qui apparemment résolvent la même série avec deux résultats différents 
Mais cette dernière, 1+2+... = -1/12, on n'aura pratiquement jamais l'occasion de la côtoyer dans la vie mathématique de tous les jours ; je dis ça pour pas que ceux qui connaissent pas encore les maths se disent "pff mais en fait rien n'est précis en maths, on peut démontrer un truc et son contraire, tranquille  ". Nope, pas du tout, c'est là un cas extrêmement particulier, et même en faisant des études supérieures de mathématiques, je pense que vous risquez pas trop de tomber sur ces anomalies les premières années, voire pas du tout. C'est vraiment des cas extrêmes quoi L'infini, on maîtrise pas encore tout à fait, c'est pour ça 

Par contre, à mon avis (mais je peux me tromper) :

1-A=A <=> A=1/2           
Jusque là, rien de bien fou.

Si quand même :
A = 1-1+1-1+1-1+1-1+..., ce qui est censé faire A = 0+0+..., donc 0 et ça donne quand même 0.5, c'est un peu fou (si j'avais pas lu que c'était un truc sérieux sur plusieurs sites, j'aurais cru à un canular comme on en trouve parfois, avec juste une illusion d'exactitude)

Bon, à vous la relève, les Mdématiciens 

[lepion]

ben comme curiosité mathématique, dans les rapports entre  les nombres 3,6,9, les multiples de 9, et la coudée et pi, on peut remarquer ce phénomène intriguant lié à la coudée égyptienne :
une coudée mesure 0,5236 mètre, soit 1/6 de pi...
une coudée égyptienne qui date de 5000 ans, voire plus...

[ZagZag]

Oui c'est vrai que c'est pas banal mais par rapport au résultat final, c'est pas grand chose
Surtout qu'entre des 1 et 1/2 on peut facilement faire un lien, sans vraiment comprendre pourquoi. Alors qu'entre la somme à des nombres entiers naturels à l'infini et -1/12, le lien est bien moins évident...

Après, cette démonstration est un poil bancale. On peut pas appréhender l'infini, alors comment peut-on être sûr que A=1-A ? Mais c'est la tout le problème de l'infini...

[lepion]

coudée et chiffre rond

nous noterons au passage à quel point la coudée, tout comme le mètre, est intimement liée au nombre Pi

en utilisant des nombres dont la résolution est égale à 9, puis en les multipliant par la coudée et en les divisant par Pi, on obtient systématiquement des chiffres ronds, c'est assez hallucinant :

126 = 1+2+6 = 9
126 fois la coudée = 126 fois 52,36 = 6597,36
6597,36 divisé par Pi = 6597,36/3,1416 = 2100

333 fois 52,36 = 17435,88
17435,88/3,1416 = 5550

4212 fois 52,36 = 220540,32
220540,32/3,1416 = 70200