Le Monde de L'Écriture – Forum d'entraide littéraire

23 juillet 2019 à 15:16:09

Le Monde de L'Écriture » Sous le soleil des topics » Discussions (Modérateurs: Milora, Aube, Ben.G) » Où on rêve d'infini, d'espaces et de nombres...

Auteur Sujet: Où on rêve d'infini, d'espaces et de nombres...  (Lu 962 fois)

En ligne Chapart

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Où on rêve d'infini, d'espaces et de nombres...
« le: 24 avril 2018 à 02:27:36 »
Edit de Milora :
Messages séparés depuis une digression dans le Défloodoir, pour parler de maths, expliquer des choses, poster des liens et tout autre démarche vulgarisatrice de cet acabit ^^



Zag et Chapart, maintenant on veut une explication vulgarisée de votre débat  :huhu:

Masochiste, va

Cela dit, je pense qu'on pourrait (assez) facilement vulgariser le contenu de cette discussion; peut-être pas dans un post, mais sous la forme d'une présentation ou d'un exposé, les idées de l'"algèbre modulaire" sont des choses qui potentiellement peuvent être facilement exposées, à mon avis. Il y a plein d'autres idées de maths qui se vulgarisent plus facilement que celle-ci je pense (la diagonale de Cantor par exemple, Zaaaag ???), mais ce n'est pas non plus absolument hors d'accès de faire un crash course sur ça à mon avis.

(Pourquoi pas ouvrir un fil si ça intéresse quelqu'un)

Je vais finir par signaler tous vos messages.
'Ça suffit ces conneries de matheux.

Sois pas raciste

Pfff, ça m'a pourri ma scolarité, et je pense aussi que les maths ça sert pas seulement dans un métier, ça sert aussi à former le cerveau.
Çà m'aurait aidé jeune d'avoir ce "complément" à mon côté littéraire, un peu artiste, dessin, travaux manuels. Çà m'aurait peut être permis d'être plus rationnelle au lieu de devoir devenir mûre pour le devenir en partie.

C'est intéressant ce que tu dis sur le fait de former le cerveau... J'ai envie de renvoyer sur un article de W. Werner, qui a obtenu la plus haute disctinction qu'on puisse obtenir dans le domaine des maths, qui m'avait marqué alors que j'étais étudiant en maths. Il explique que les mathématiques, entre autres, permettent de distinguer un raisonnement construit et correct d'un raisonnement erroné. C'est quelque chose qui s'applique à la vie de tous les jours, et me paraît d'une importance capitale, quand bien même certains considéreraient qu"on n'a pas besoin de matheux".

(Sur la dimension artistique/littéraire; pour moi, ces distinctions sont toujours un peu artificielles. Les maths sont mon métier, et pour moi, ça participe d'un processus de création, au même titre qu'on processus de création artistique.)

Le calcul, ce n'est pas des maths (je suis nul en calcul, quand je dois faire mes comptes, je sors mon smartphone). En maths, on tente de raisonner. Je suis persuadé que certaines idées profondes utilisées en mathématiques peuvent se vulgariser, malheureusement ça ne se fait pas, ou mal. Quand je lis, "les maths, c'est nul", forcément je trouve ça dommage, même si je peux comprendre le blocage qu'on peut avoir par rapport à des "maths" de lycée (où il m'apparaît toutefois qu'on n'apprend pas à raisonner, mais plutôt à appliquer des recettes de cuisine).


Mais non, Tim... Je me tue à vous dire qu'on n'a pas besoin des matheux : regarde, Jobear a parfaitement résolu le problème, dans "Un mort dans les étoiles".

On n'a pas besoin de matheux, je suis bien d'accord avec toi. Ni d'ingénieurs. D'ailleurs, les ingénieurs utilisent des modèles mathématiques, donc on n'a pas besoin d'ingénieurs, comme corollaire du fait qu'on n'a pas besoin de matheux. Oups  :-[ je viens de faire un raisonnement construit, j'ai établi un "corollaire", il s'agit là d'une relation logique de cause à effet, un type de relation sur lesquelles les mathématiques sont construites, mille excuses, si on part du principe qu"on n'a pas besoin de matheux", alors ce type de raisonnement devrait être proscrit... heureusement, car si on admet le raisonnement "logique", alors comme conséquence de l'affirmation qui consite à dire qu'on "n'a pas besoin de matheux", on n'aurait pas besoin d'ingénieurs, les progrès de la médecine basés sur l'utilisation de diverses théories et instruments reposant sur des modèles mathématiques seraient à proscrire (on ne chercherait plus par exemple à faire des avancées en matière de lutte contre le cancer), on prohiberait la construction de ponts qui, soit dit en passant, reposent sur l'amoncellement d'une série d'équations, etc. On aurait même de la peine à concevoir des systèmes de défense de notre armée efficaces contre de (potentielles ?) invasions ennemies. 

Ah non les maths c'est la vie !

 :coeur: :coeur:

Oui, j'y arrive en y mêlant une part intuitive qui n'est pas normalement dans les

Eh bien, pour moi, il s'agit en bonne partie d'intuition. Réussir à trouver une façon de visualiser un objet nouveau. C'est l'écrasante majorité du travail. Et je constate que chacun le fait à sa façon. Avoir une intuition d'un phénomène est une chose. Après, on peut buter sur le "langage" qu'on nous impose pour décrire ce phénonène. On peut comprendre ce qu'est un phénomène, et buter lorsqu'il s'agit de trouver une forme de langage commun pour exprimer ça, remplacer cette perception par "des X et des Y".

Les maths c'est nul.

Sois pas raciste  :D

Je pense vraiment qu'il y a un a priori sur ce que sont les mathématiques, que je peux parfaitement comprendre vu la façon dont les mathématiques sont exposées, définies et proposées au cours de la scolarité. Cela dit je constate, y compris ici, que beaucoup d'a priori y sont attachés, et parfois j'ai tendance à trouver ça un peu dommage. Il y a de très beaux raisonnements qui sont faits en mathématiques, que je pense par ailleurs aisément vulgarisables, simplement parfois les idées préconçues sont telles que l'accès à ces joyaux de la pensée ne sont pas facilités, et c'est à mon avis bien dommage.
« Modifié: 25 avril 2018 à 20:24:41 par Chapart »

Hors ligne cyamme

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Re : Maths
« Réponse #1 le: 24 avril 2018 à 09:14:45 »
Tout a fait comme dit Chapart (meme si je suis pas une matheuse, mais je trouve que c'est cool les maths ^^).

Il a aussi le fait que les maths soit autant utilises comme moyen de selection, ce qui les place d'emblee dans la categories "trucs avec lesquels on rigole pas" alors qu'au contraire, c'est quand on s'amuse avec que c'est chouette/beau.

Et enfin, last but not least, l'importance des enseignants, effectivement. Je sais pas quel est la proportion d'enseignants "matheux" em primaire, mais comme ca, a priori, pas des masses, je dirais. Meme dans le secondaire, il y a des perles (dans le sens profs tresors qui allument l'etincelle d'interet pour cette discipline) mais pas que (se rappelle avec effroi de certains eleves preparant le capes de math). Mais vraiment, le cote math =sanction/evaluatiom joue vraiment un role super important, d'apres moi.

Pour finir, c'est un bouquin jeunesse, mais j'avais vraiment beaucoup aime lire ce bouquin quand j'etais petite et frustree de l'ecole.  :)

Edit : n'empeche que l'accent de Claudius est chouette. Et il y en a un quebecois aussi ! Vive le Mout !

Edit bis : rien a voir mais je trouve que les pages wiki en math sont souvent mieux construites et plus claires que leur pendant anglais et c'est une des rares disciplines pour lesquelles j'ai cette impression. Vous l'avez aussi ?
« Modifié: 24 avril 2018 à 09:26:11 par cyamme »
On ne fait pas d'omelette sans casser d'œufs.
C'est de là que viennent les coquilles. (et aussi de mon clavier en qwerty)

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Re : Maths
« Réponse #2 le: 24 avril 2018 à 23:35:45 »
Yo, c'est assez bien expliqué ici.

www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=6441

(mieux que sur wikipédia à mon avis).

En gros le principe de la diagonale de Cantor sert à démontrer qu'il existe différentes sortes d'"infinis": deux ensembles infinis ne sont pas nécessairement "de même taille" (dans un sens qu'il faut définir). Je sais pas si cet article est plus compréhensible.

(je peux faire un post détaillé mais pas avant ce week-end).

(en fait je trouve que ça se vulgarise assez bien pour l'avoir fait avec deux ou trois potes autour d'un verre, mais j'ai jamais cherché à le rédiger de façon vulgarisée; je pense que c'est faisable).   
« Modifié: 26 avril 2018 à 00:17:20 par Chapart »

Hors ligne Olaf

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Re : Maths
« Réponse #3 le: 25 avril 2018 à 00:41:19 »
 :ninja: Ca faisait longtemps ... mais fallait pas m'invoquer aussi :ninja:

Je vous invite à regarder cette petite vidéo introduisant en douceur différentes familles d'infinis.
C'est autour de la quatrième minute qu'on en vient à la diagonale de Cantor sans vraiment la nommer.
Ça nécessite d'être un peu concentré, mais comme dit Roland Lehoucq, «Ce n'est pas parce que je ne comprends pas tout que ce n'est pas intéressant».
Ici la page de commentaire où un spectateur de la vidéo demande plus d'explications sur la démonstration, et où il en obtient.

Après Cantor a fini un peu schizophrène, alors si vous ne le sentez pas, ne poussez pas non plus l'effort trop loin.
Quand on s'intéresse à son boulot, il faut surtout retenir qu'il y a plein de types d'infinis différents et que certains contiennent plus d'éléments que les autres (si on veut s'en tenir à deux lignes).  Et le procédé de la diagonale sert surtout à construire des nombres à partir d'un tableau de nombre choisis au hasard (avec pour finalité derrière d'alimenter des démonstrations).

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Re : Maths
« Réponse #4 le: 25 avril 2018 à 17:25:31 »
Je n'ai pas suivi le sujet et je ne sais pas d'où il sort, mais un truc m'a interpellé :

Eh bien, pour moi, il s'agit en bonne partie d'intuition.  Je crois que c'est Chapart qui nous dit cela, non sans raison.

Contrairement à une idée trop répandue, l'intuition est essentielle dans l'activité mentale mathématique.

Les outils mathématiques se composent essentiellement de théorèmes et équations. C'est l'intuition qui permet à l'esprit de se diriger sur le bon théorème, celui qui conduira à la solution. Faute de quoi, il faudrait explorer l'ensemble des théorèmes, et chercher à les utiliser les uns après les autres pour voir si, par hasard, l'un d'entre eux ne s'appliquerait pas avec succès.

Or l'intuition est un sentiment. C'est un sentiment forgé sur tout ce que l'on sait, mais aussi sur tout ce que l'on ne sait pas que l'on sait, et qui surplombe la rationalité.

De surcroît, c'est un "sentiment esthétique". Telle démarche mathématique est plus esthétique que telle autre. D'ailleurs les mathématiciens cherchent toujours les solutions "élégantes".

De même tous les mathématiciens vous diront que les mathématiques ont une "beauté".

Ce qui me conduit à penser que l'exercice d'une rationalité humaine n'est pas autre chose que l'exercice d'une "émotion esthétique".

Et beaucoup de travail, cela va de soi. Sans travail, pas de mathématiciens.

C'est donc la première chose à laquelle il faudrait sensibiliser les enfants : la beauté de mathématiques.

 
« Modifié: 25 avril 2018 à 17:34:30 par avistodenas »

Hors ligne Milora

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Re : Maths
« Réponse #5 le: 25 avril 2018 à 17:57:34 »
:ninja: Ca faisait longtemps ... mais fallait pas m'invoquer aussi :ninja:

Je vous invite à regarder cette petite vidéo introduisant en douceur différentes familles d'infinis.
C'est autour de la quatrième minute qu'on en vient à la diagonale de Cantor sans vraiment la nommer.
Elle est sympa, la vidéo ! Mais, comme l'un des commentaires, j'ai pas compris un point, qui semble vaguement crucial :D du coup je vais aller lire les explications que tu pointes également.

J'irai regarder vos autres liens après ! :)
Il ne faut jamais remettre à demain ce que tu peux faire après-demain.

Hors ligne Olaf

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Re : Où on rêve d'infini, d'espaces et de nombres...
« Réponse #6 le: 26 avril 2018 à 22:21:36 »
C'est le point "si le chiffre qu'on a construit était en position n, alors la n-ème décimale posera problème" qui coince ?

En ligne Chapart

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Re : Maths
« Réponse #7 le: 28 avril 2018 à 00:37:18 »
Edit bis : rien a voir mais je trouve que les pages wiki en math sont souvent mieux construites et plus claires que leur pendant anglais et c'est une des rares disciplines pour lesquelles j'ai cette impression. Vous l'avez aussi ?

Il me semble que c'est vrai pour beaucoup de pages qui contiennent, disons, des notions enseignées au niveau lycée/classes prépa/licence (exemple, puisque l'origine de cette discussion était l'arithmétique modulaire: la page francophoneest beaucoup plus structurée, développée et fournie que la page anglophone), en revanche dès qu'on va vers des notions plus spécialisées, les choses sont beaucoup plus développées en anglais (ce qui paraît assez logique. Exemple, je tape "groupe de Coxeter", une notion enseignée dans certains M2 d'algèbre en France mais plus très à la mode en ce moment: la page francophone est beaucoup moins développée que la page anglophone).

Bon déjà j'ai l'impression qu'en France globalement il y a un attachement à la façon de présenter un contenu dans les cours et les bouquins (toutes disciplines confondues), un attachement tout bêtement à la précision des termes utilisés, à la langue et à la structure des documents que je ressens moins dans les pays anglophones (de sorte que ça vire parfois dans l'autre extrême et que la façon française de présenter les chose est qualifiée de "précieuse"). Je ne sais pas si c'est pareil dans d'autres domaines, mais en maths les Français sont souvent moqués pour leur façon de tout structurer, tout définir (au point qu'il existe un terme spécifique pour chaque structure avec la moindre propriété  farfelue, qui n'existe en général pas dans les autres langues).

Après pour ce qui est des maths et de la façon dont elles sont présentées, je pense qu'il y a eu une influence du "mouvement" Bourbaki. C'était une corporation "secrète" de mathématiciens (y avait pas vraiment de raison pour que ça soit secret, c'était une sorte de délire collectif), née suite à la Première Guerre Mondiale: il y avait alors pénurie de mathématiciens et d'étudiants dans les cursus de maths en France (certaines disciplines comme l'algèbre ou la théorie des nombres, très développées en Allemagne au XIXe siècle, étaient devenues quasiment inexistantes en France) ce qui inquiétait les mathématiciens qui enseignaient à l'Ecole Normale Supérieure (l'usine à cerveaux  :mrgreen: ). Du coup ils ont décidé de se lancer dans la rédaction d'une série de bouquins qui décriraient les "fondements des mathématiques". Des réunions secrètes avaient lieu régulièrement, et une série impressionnante de livres a fini par paraître... qui, effectivement, décrit les maths telles qu'elles étaient à l'époque, depuis leur fondement. Sauf qu'il y avait un parti pris très fort de rédiger cela d'une façon hyper rigoureuse et dans le plus haut degré possible de généralité, en ne donnant quasiment pas d'exemples, ce qui ne facilite pas la compréhension, le tout écrit dans un style très pédant, et en refusant certains mouvements qui naissaient alors. Donc en réalité, ces bouquins sont rarement accessibles avant le M1, ce qui est problématique. Par ailleurs ils ont un peu déconné sur les bouquins de probas, où ils faisaient reposer toute la théorie sur des hypothèses qui ne sont pas celles utilisées en pratique. Ces bouquins sont toutefois restés (à juste titre à mon avis) des références dans beaucoup de domaines, et je crois que la rigueur de présentation qui les caractérise a eu une influence assez forte sur la façon dont les mathématiques sont présentées et rédigées en français: une bande de pontes (et de potes  :mrgreen:), tous plus ou moins en poste à la rue d'Ulm, qui ont crée des supports de cours alors inexistants, dans un style bien spécial, qu'ils ont utilisés dans leurs cours, et qui ont eu une influence immédiate sur les générations suivantes. Un style basé sur la rigueur (toutefois poussé à l'extrême, tant et si bien que ça vire parfois à l'absurdité) qui  a eu son influence sur la façon d'enseigner et de présenter les maths en classes prépa, dans les hautes écoles et à la fac.

[En réalité le côté "sacré" de Bourbaki en France m'impressionne toujours: dans mon domaine, le bouquin qu'ils ont écrit (1968) reste de loin la meilleure référence de base disponible à l'heure actuelle (il m'arrive fréquemment de me demander si une propriété est vraie, et dans l'écrasante majorité des cas, c'est traité dans leur bouquin). Sauf que la façon de présenter a évolué depuis et que de nouveaux pans de sont développés, mais personne n'ose écrire de bouquin en français sur le sujet à l'heure actuelle pour mettre un peu ça à jour, et quand on demande aux gens pourquoi, ils répondent "on peut pas faire mieux que Bourbaki"]. 

[Juste pour déconner un peu, et aussi pour montrer qu'il y a des matheux qui aiment jouer avec les mots, ils s'amusaient à écrire des concovations farfelues à leurs réunions ou des textes déjantés, ici un extrait, pour ceux que ça intéresse la totalité du texte est disponible sur la page wikipédia. Ils avaient quand même joyeusement fumé de la toile isolante cette bande  :D

« Faire-part de mariage
Monsieur Nicolas Bourbaki, membre canonique de l'académie royale de Poldévie, grand maître de l'ordre des compacts, conservateur des uniformes, lord protecteur des filtres, et Madame, née Biunivoque, ont l'honneur de vous faire part du mariage de leur fille Betti avec Monsieur Hector Pétard, administrateur délégué de la société des structures induites, membre diplômé de l'institute of class field archeologist, secrétaire de l'oeuvre du sou du lyon.
Monsieur Ersatz Stanislasz Pondiczery, complexe de recouvrement de première classe en retraite, président du Hom de rééducation des faiblement convergents, chevalier des quatre U, grand opérateur du groupe hyperbolique, knight of the total order of the golden mean, L.U.B., C.C., H.L.C., et Madame, née Compactensoi, ont l'honneur de vous faire part du mariage de leur fils Hector Pétard avec Mademoiselle Betti Bourbaki, ancienne élève des bien ordonnées de Besse.
  [...]

]

Franchement, on peut pas délirer autant avec les maths non. J'imagine des gens se jetant des équations à la figure.


ça arrive, ça arrive  :huhu:

C'est sûr que c'est vulgarisable l'arithmétique modulaire, mais effectivement c'est pas le plus simple ou le plus intéressant (au sens où ses applications - ou au moins celles que j'ai vu - sont quand même assez abstraites et peu "satisfaisantes" si on n'est pas fan de maths : équations diophantiennes, théorème de Wilson, ...).
Mais c'est sûr que la diagonale de Cantor c'est un super exemple d'idée relativement simple qui démontre des trucs pas évidents et quand même assez compréhensibles, ouaip.

bah y a pas mal d'applications en crypto, et bon, le langage binaire utilisé par les ordis, c'est de l'algèbre modulo 2

Spoiler
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Oui, je suis persuadée que les maths puissent participer à la construction du cerveau notamment en ce qui concerne le fait d'avoir une pensée plus structurée, qui part moins dans tous les sens.
Pour moi qui était une grande rêveuse, ça m'aurait aidé je pense. J'ai acquis cela avec l'âge mais y'avait du boulot.

On peut faire des maths et être rêveur, ça arrive même souvent  :huhu:  mais en effet, comme ça a été relevé, le fait d'avoir un prof qui sache susciter l'intérêt est important, et y a souvent une persuasion du type "je suis nul en maths" qui aide pas.


Et un jeu tres rigolo consiste a resoudre les exos en tentant de pas utiliser la methode a laquel pensait le prof en le donnant.  :-¬?

Haha, là je résite pas, y a un exemple super connu, c'était Gauss je crois (la flemme de vérifier) qui résolvait tous ses problèmes de maths super vite, au point que son prof en avait marre, il lui a alors dit "calcule moi la somme de tous les nombres entre 1 et 100", donc 1+2+3+4+...+99+100 et trois minutes plus tard ce petit malin est arrivé après avoir réarrangé les termes

1+2+3+4+...+100= 100 + (99+1) + (98 + 2) + (97 + 3) + ... + (51 + 49) + 50 = 50 x 100 + 50 = 5050  :huhu:

À vrai dire, cela peut dépendre du champs mathématiques considéré aussi, il me semble que chaque pays ne se concentre traditionnellement pas forcément sur les même choses, dans l'enseignement comme dans la recherche.

Oui ! Il y a des domaines de recherche traditionnellement beaucoup plus développés et mis en avant dans certains pays que dans d'autres: la théorie des nombres en Allemagne, la géométrie algébrique en France, les probas stats dans les pays anglo-saxons (surtout appliquées, l'école française de probas "théoriques" est très prestigieuse aussi), l'analyse et la combinatoire en Italie, l'algèbre et la théorie des représentations en Amérique du Sud, la topologie de petite dimension au Japon, etc. Et également des phénomènes de modes (une thématique très à la mode à un moment donné, à un endroit donné) et des fluctuations. Et, bien sûr, des "écoles" et des traditions. Ce qui a une répercussion sur l'enseignement.

(Moi j'aimais beaucoup les maths pour leur abstraction : je trouve qu'il y a une forme de beauté qui émerge à construire un système de pensée cohérent qui ne parte pas d'une observation du réel mais d'une pure conceptualisation - mais en même temps j'en ai jamais vraiment fait, ayant arrêté après la classe de seconde, alors je dis sans doute des bêtises. Mais je me souviens que découvrir les équations, en 4e, m'avait donné l'impression d'ouvrir d'un coup tout un pan de pensée (l'idée qu'on puisse faire des raisonnements avec un x dont on sait pas ce que c'est), et je suppose que j'ai toujours confusément supposé que les maths avancées étaient un peu une amplification puissance mille de ce sentiment).

Il y a en effet toute une panoplie de raisonnements abstraits qu'on ne pourrait pas utiliser dans la vie de tous les jours (comme tu dis, choisir un x pour désigner n'importe quel élément d'un ensemble, faire une hypothèse absurde, démontrer qu'on objet n'existe pas, etc.); par contre, pour moi il reste toujours une part qui provient de près ou de loin de l'observation qu'on fait du réel. Pour pouvoir commencer à faire des maths, il faut poser certains "axiomes" (j'aime pas trop le mot parce qu'il désigne deux choses différentes, en physique on dirait "postulats"), qui sont des énoncés qu'on admet sans démonstration (car il faut bien un socle sur lequel construire quelque chose). Si on veut prendre une image pour expliquer ça, c'est un peu le même principe qu'un dictionnaire: si on ne connaît aucun mot de la langue française, on ne pourra jamais apprendre cette langue avec un dictionnaire, car le principe du dictionnaire, c'est d'expliquer la signification des mots avec des mots... donc c'est un peu le chat qui se mort la queue. Je suis obligé de connaître le sens de certains mots avant de pouvoir en apprendre de nouveaux. Du coup avant de pouvoir faire des maths, on pose des "postulats" de départ, et ces postulats, ben ils reposent de près ou de loin sur le fait que les maths visent (en partie) à modéliser le réel et sur la façon dont notre cerveau fonctionne. Pourquoi est-ce qu'on utilise des nombres ? Je suppose que c'est parce que notre cerveau est capable de "grouper" des objets qui se ressemblent et que plutôt que de voir une pomme et une autre pomme, il voit "deux fois" le même objet. Peut-être qu'une forme d'intelligence développée différente de la nôtre aurait des perceptions différentes, qui amèneraient à émettre des postulats de base différents, et sur lesquels des "maths" différentes seraient produites. C'est ce que je serai vachement curieux de voir si jamais on découvre l'existence d'une intelligence extra-terrestre avant ma mort... est-ce qu'ils ont les mêmes maths que nous, ou est-ce qu'avec des approches complètement différentes ils arrivent quand même à faire un TGV ou ne soucoupe volante.  :D

D'ailleurs, il existe des mathématiciens qui refusent certains de ces postulats de départ, c'est-à-dire que certains énoncés dont je peux démontrer la véracité avec mes postulats de départ sont faux avec les leurs, ou non vérifiables. (on les appelle les constructivistes).

Donc il y a cette abstraction qui paraît détachée du réel, mais à mon avis elle ne l'est pas véritablement.


EDIT: le début de la vidéo sur les infinis est cool, après il va un poil vite et au bout d'un moment ça marche plus vraiment je trouve (le bus avec sièges indexés par les réels  :D).


« Modifié: 28 avril 2018 à 01:48:06 par Chapart »

Hors ligne Olaf

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Re : Où on rêve d'infini, d'espaces et de nombres...
« Réponse #8 le: 28 avril 2018 à 13:06:25 »
Coucou Chapart.  Elle est sympa ta rétrospective du courant Bourbaki. Ça m'a toujours rebuté en tant qu'objet d'étude, j'avoue ... je n'adhère pas à l'humour et au délire je crois.  :mrgreen:

Ce qui m'a hameçonné dans ton message en revanche, c'est la question sous-jacente «pourquoi fait-on des mathématiques comme on les fait ? notre cerveau est-il un dictateur qui impose ses règles ?»

Si tu veux avoir une idée de la façon dont on peut faire des sciences "autrement", tu peux peut-être te contenter de "tuer Galilée".

Comment faire des mathématiques avec un cerveau différent ?
Quand tu t'intéresse aux influences fortes des sciences dites "occidentales", la base c'est Galilée me semble-t-il (oui il n'était pas que mathématicien).
Bien sûr ça n'éclipse pas d'autres potentiels "plus grands" scientifiques (Euler et Gauss, oui c'est bien lui la méthode de résolution alternative de la somme de 1 à 100), mais avouons quand même que même si sa contribution à l'outillage scientifique n'est pas la plus pharamineuse qu'on ait pu voir, il a quand même fait beaucoup évoluer les concepts. et notamment l'idée de se servir des mathématiques comme support pour une grande partie des sciences descriptives, et de l'outillage de mesure.

Et donc si tu veux en quelque sorte faire la différence entre le bagage de l'histoire, et ce qui relève uniquement des constructions du cerveau, tu peux t'intéresser aux civilisations qui n'ont pas été influencées par Galilée, comme la façon de faire des mathématiques en Amérique du Sud chez les précolombiens (il y a le site d'etnomathematica où l'on trouve quelques articles en Français sur le sujet, ... mais le forum compte aussi de talentueux hispanophones qui pourraient donner leur avis sur la question) ; ou bien comment une civilisation "jeune" comme certains habitants de l'Océanie qui sont restés coupés du monde pendant très longtemps pense le monde.
Pour les humains en général ça dépend beaucoup de leur environnement et de leur contexte, et il y a pas mal d'expériences en neurosciences qui tendent à faire penser que le cerveau mature et se développe pour répondre à ce contexte tout au long de la vie.

Comment on fait des mathématiques avec un cerveau non-organique ?
Ceci ne répond pas en revanche à ton interrogation : comment on fait des mathématiques avec un cerveau ou un médium de pensée différent ?
Et là pour le coup, on a quand même quelques pistes grâce à la construction de "cerveaux artificiels" via un modèle informatique. Et l'informatique ça sert à faire faire par une machine toutes les choses qui nous prendraient trop de temps et/ou qui ne sont pas passionnantes à haute dose.

Je suis fasciné par le machine learning, à savoir la construction d'une machine ayant une mémoire, et qui soit capable de stocker les chemins expérimentaux par lesquels elle réussit, et ceux par lesquels elle échoue, c'est typiquement un mode de pensée "enfantin" mais totalement différent de la méthode hypothético-déductive qu'on applique en sciences (y compris en mathématiques d'ailleurs) où l'on commence par formuler des hypothèses, où l'on essaie de les étayer un minimum avant d'échouer de nombreuses fois à démontrer qu'elles sont fausses.
Dans l'absolu, fabriquer un TGV, pour le machine learning, si j'ai bien tout compris, ça signifierait partir virtuellement de tous les matériaux dont tu disposes pour ça, et de tenter toutes les combinaisons possibles, en choisissant d'abord des familles de solution qui semblent mieux réussir que les autres (fabriquer des roues ça a l'air de mieux marcher que fabriquer des fourchettes pour avancer sur les rails) et petit à petit construire une solution optimale au bout d'un grand (voir très grand) nombre d'essais.
Idem pour certaines conjectures, utiliser des machines pour travailler sur les démonstrations pourrait voir émerger des idées complètement exotiques pour peu que notre "cerveau" informatique ait suffisamment appris, et certaines choses qui se résolvent en théorie de groupes auraient par exemple une démonstration plus originale et plus courte dans un autre domaine de théorie.

C'est un exemple de réflexion non-intuitive à mon sens, même si à bien y réfléchir, l'intuition a l'air quand même pas mal de se nourrir de l'expérience. Enfin je ne vais pas m'avancer sur ce domaine philosophique que je connais très mal,  :-[

Il reste comment on fait des mathématiques avec un cerveau animal, mais pour le coup je n'y connais rien du tout, et l'étude des animaux soumis à des problèmes est actuellement une pouponnière de théories qui attendent de trouver leur maturité, donc je vais m'abstenir d'en parler au risque de passer à côté de beaucoup de choses et de donner des informations plus que périmées.
Et comment on fait des mathématiques quand on est un extra-terrestre (si ce genre de chose existe ou a un sens), ou comment est-ce qu'on vit sans mathématiques ou proto-mathématiques dans un autre monde hé bien là, c'est de la science fiction, et heureusement car ça nous laisse rêver un peu.   :)

Ah et puis il y a aussi plein d'expérience sur le mode de pensée de personnes souffrant de lésions cérébrales, mais ça va vraiment faire trop long pour un seul message !

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On peut faire des maths et être rêveur, ça arrive même souvent  :huhu:  mais en effet, comme ça a été relevé, le fait d'avoir un prof qui sache susciter l'intérêt est important, et y a souvent une persuasion du type "je suis nul en maths" qui aide pas.
Pour avoir récupéré des élèves en situation d'échec en mathématiques, c'est pas seulement le prof qui est en cause, mais aussi le contenu du programme, le discours qu'il y a autour des mathématiques, l'environnement familial, et le discours tenu dans la société.
Tous ces éléments sont intriqués entre eux et bien malin sera qui saura qui a été le premier dans la question de l’œuf ou de la poule.

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[...]une thématique très à la mode à un moment donné, à un endroit donné[...]
On commence à avoir aussi des pays (La Chine, ou l'Allemagne me semble-t-il) qui donnent des objectifs d'enseignement en fonction des besoins de l'industrie et plus globalement des secteurs jugés d'avenir. Investir sur la recherche fondamentale étant souvent un pari un peu risqué, on essaie au moins de donner des directions à suivre, ce qui, si ça survient en France, se heurtera forcément aux griefs de l'UNEF  :mrgreen:
Allez, rêvons un peu : un jour on aura un programme de recherche public et connu, et les étudiants en auront connaissance avant de commencer leurs études histoire de savoir la difficultés qu'ils auront à trouver du travail ensuite.

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D'ailleurs, il existe des mathématiciens qui refusent certains de ces postulats de départ, c'est-à-dire que certains énoncés dont je peux démontrer la véracité avec mes postulats de départ sont faux avec les leurs, ou non vérifiables. (on les appelle les constructivistes).
D'ailleurs c'est en s'opposant à eux que Cantor a usé sa mentale semble-t-il.
Ils m'ont toujours semblé cousins des phénoménologistes en physique qui rejetaient l'existence de l'atome à la même époque parce qu'on n'avait pas de preuve expérimentale de son existence.

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EDIT: le début de la vidéo sur les infinis est cool, après il va un poil vite et au bout d'un moment ça marche plus vraiment je trouve (le bus avec sièges indexés par les réels  :D).
Si tu prends la main de ton voisin de bus, sais-tu à quel moment tu finis et à quel moment tu commences ?  ^^
« Modifié: 28 avril 2018 à 13:11:23 par Olaf »

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Diagonale de Cantor
« Réponse #9 le: 07 juillet 2018 à 05:03:08 »
Bon, j'avais promis de faire un post sur la diagonale de Cantor, j'ai un peu traîné.

Le procédé de la diagonale de Cantor permet de démontrer qu'il existe différentes sortes d'infinis  :coeur:. Whaaaaaat ? différents infinis ? ça veut dire qu'il y a des infinis plus infinis que les autres ? Oui, il y a des infinis plus infinis que les autres, et on va essayer de comprendre pourquoi  :P

Ecrivons les nombres les uns après les autres: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...

La première observation toute simple qu'on peut faire, c'est qu'on voit qu'on peut écrire les nombres entiers de gauche à droite, l'un après l'autre ; si je continuais ma liste, j'obtiendrais une ligne horizontale infinie où n'importe quel nombre finirait par être atteint au bout d'un moment. Au bout d'un moment j'arriverais au nombre 983490821099823. C'est ce qu'on appelle l'infini dénombrable: un ensemble est infini dénombrable si on peut écrire ses éléments de gauche à droite, l'un après l'autre, autrement dit, si on peut numéroter ses éléments: dans l'exemple ci-dessus, le premier = 1, le deuxième = 2, etc. , et on finit par atteindre tout le monde. Si j'ajoute les entiers négatifs, l'ensemble est plus grand, mais toujours dénombrable ! Regardez

-1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -5, 5, -6, 6, -7, 7, -8, 8, -9, 9, ...

Si on poursuivait de la sorte on finirait par obtenir n'importe quel nombre entier positif ou négatif (et je numérote: le premier = -1, le deuxième = 1, le troisième = -2, etc.) Voilà un autre exemple d'ensemble infini dénombrable. Hum, mais est-ce qu'on peut toujours faire ça ? Est-ce qu'un ensemble est toujours dénombrable ? Tant qu'on n'a pas donné d'exemple d'ensemble qui ne l'est pas, on n'a aucune certitude. Et le problème, c'est que démontrer qu'un objet ne satisfait pas une propriété, ça peut être dur dur. Ici, il faudrait d'abord trouver un vilain petit ensemble qu'on suspecte de ne pas se laisser numéroter (ce qui peut prendre du temps, on n'a pas forcément de candidat naturel). Il faudrait ensuite vérifier qu'il n'existe aucun moyen de numéroter ses éléments, et ça, comment on fait ? Parce que euh, des numérotations, il peut y en avoir tout plein, par exemple si on reprend les exemples données plus haut, suffit d'échanger deux nombres sur la ligne. OMG, comment on faaaaait ????

On fait un raisonnement par l'absurde: c'est-à-dire qu'on prend notre petit ensemble dénombrablo-réfractaire potentiel, qu'on déclare qu'il admet une numérotation, et on démontre que ça implique que la terre est plate. La terre n'étant pas plate, on en déduit que la déclaration de départ (mon ensemble est dénombrable) était fausse. Et bingo, ça fait de nous les rois du pétrole.

Alors allons-y ! On va exhiber un ensemble infini bien choisi, déclarer qu'il est dénombrable, et aboutir à une contradiction: la contradiction sera très simple, on va démontrer qu'il existe un mec dans l'ensemble qu'on a choisi qui ne possède pas de numéro. Ce qui est pas possible, puisqu'on a dit que l'ensemble admettait une numérotation, nonmého, chacun devrait avoir son numéro ! Contradiction.

Il manque un numéro
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Regardons donc l'ensemble de tous les nombres à virgule de la forme 0,0001101010110000111111001010101.... C'est-à-dire, les nombres compris entre 0 et 1, et dont l'écriture décimale ne fait intervenir que des 0 et des 1. Déclarons-le solennellement dénombrable: ça veut dire que je peux numéroter les éléments de mon ensemble (x1= le premier, x2=le deuxième, x3, x4, x5, x6, x7, ....) et que n'importe quel nombre compris entre 0 et 1 avec que des 0 et des 1 dans son écriture décimale finit par apparaître à un moment donné in the list. Pour me faciliter la tâche je vais représenter cette droite de nombres verticalement, par exemple (pour les premiers)

x1=        0,011010111100010101010001....
x2=       0,1110111001010100011100110....
x3          0,011010110101010100011100....
x4          0,010101101011110001010001....
x5          0,010101111000101010100011....
x6          0,1110110101111000101010100....
x7          0,011010111100010101010100....
x8          0,111000101001101011110101....
....

etc., j'obtiens un tableau infini avec tous ces nombres (j'ai fait un choix arbitraire pour illustrer la chose, ça pourrait être d'autres nombres qui apparaissent, l'argument que je vais donner dessous serait le même).

Bon, et c'est là que la diagonale de Cantor intervient. Notre objectif, c'est de voir que l'ensemble des nombres qui n'ont que des 0 et des 1 n'est pas dénombrable, on l'a supposé (par l'absurde) dénombrable, notre job consiste donc à trouver un nombre de cet ensemble qui ne peut pas avoir de numéro. Et c'est faciiiiiiiiiile. On va prendre les décimales diagonales dans le tableau infini du dessus, je les mets en rouge

x1          0,011010111100010101010001....
x2          0,1110111001010100011100110....
x3          0,011010110101010100011100....
x4          0,010101101011110001010001....
x5          0,010101111000101010100011....
x6          0,1110110101111000101010100....
x7          0,011010111100010101010100....
x8          0,111000101001101011110101....
....

càd que j'ai pris la première décimale du premier nombre, la deuxième décimale du deuxième nombre, etc jusqu'à ce que l'univers explose. Et oooooooh que voit-on ? En rouge, sur la diagonale, on lit un nouveau nombre qui n'a que des 0 et des 1  :aah:

0,01110110...

Maintenant, prenons son "complémentaire": je remplace tous les 1 par des 0 et vice-versa:

0,10001001...

Voilà, encore un nombre de notre ensemble, et là, c'est fini ! Ce nombre ne peut pas avoir de numéro, puisque sa première décimale est différente de celle de x1, sa deuxième décimale est différente de celle de x2, sa troisième de celle de x3, etc., il est donc différent de tous les nombres numérotés, ce n'est donc pas un nombre numéroté ! Bingooooo !

Rigolo, non ?   :pompom:

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  • Un lien pour ceux que ça intéresse: Georg Cantor et les infinis, conférence grand public issue du cycle Un texte un mathématicien à la BNF.
  • L'étape suivante consiste à se demander si les ensembles non dénombrables sont tous non dénombrables de la même façon  :mrgreen: autrement dit si parmi les infinis non dénombrables, il en existe qui sont encore moins dénombrables que les autres (qui sont déjà pas dénombrables)  :mrgreen:   :mrgreen:    :coeur:






« Modifié: 28 juillet 2018 à 11:34:15 par Chapart »

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Re : Où on rêve d'infini, d'espaces et de nombres...
« Réponse #10 le: 30 juillet 2018 à 12:19:26 »
Bon, bin moi j'avais rien promis du tout, mais j'ai eu envie de parler de trucs aussi  ^^ Le fond est un peu moins impressionnant que la diagonale de Cantor, et si vous avez fait un peu de maths post-bac ça vous paraîtra peut-être assez basique. Malheureusement, il y a un peu de calcul, mais sans ça revient à admettre des choses les unes après les autres, c'est pas très marrant, mais rien d'insurmontable je crois (ou alors c'est moi qui explique mal). Enfin bref, ça parle de paradoxes grecs et de sommes infinies :

Les paradoxes ont longtemps donné bien des soucis aux mathématiciens (enfin surtout aux logiciens), faisant toujours un peu plus avancer la compréhension des mathématiques et l'aidant à fonder des bases solides. Et des mecs forts pour les paradoxes, c'étaient les Grecs, et un en particulier, Zénon d'Élée. Je ne parlerais pas du pourquoi du comment il a inventé et partagé ses paradoxes, ça soutient une idée et une vision du monde très particulière qui n'est pas vraiment le propos ici, mais c'est... spécial.
Son paradoxe le plus célèbre reste celui d'Achille et de la tortue, qui comporte de nombreuses variantes. Comme je trouve l'enrobage un peu compliqué pour rien (cherchez la petite histoire si ça vous intéresse), je vais plutôt parler d'une de ses variantes, le paradoxe de la dichotomie, qui a fondamentalement la même idée cachée derrière. L'idée est simple, on lance une balle de tennis et on veut qu'elle atteigne un mètre. Mais on ne la lance pas simplement sur un mètre (ce serait trop facile), on la fait rebondir. La balle parcoure donc la moitié de la distance avant son premier rebond. Elle continue de faire son bonhomme de chemin et parcoure à nouveau la moitié de la distance qui la sépare de l'arrivée avant de faire son second rebond. Pas farouche, elle continue de faire pareil avant son troisième rebond, avant son quatrième, avant son cinquième... Si bien qu'à chaque rebond, elle divise la distance qui la sépare de l'arrivée par deux. Jusque là, pas de soucis.

quel zouli dessin
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Sauf que si on y réfléchis, notre balle de tennis fera un nombre infini de rebonds ! Le problème est que les rebonds ont une durée déterminée, et on se retrouve vite, pour trouver le temps total du trajet, à additionner une infinité de durée, de plus en plus petites, certes, mais une infinité quand même. Intuitivement, on se dit qu'il y a un soucis : si on additionne une infinité de termes positifs, on aboutit forcément à l'infini, non ? (on dit d'ailleurs que cette somme diverge) Partant de là, on peut même aller plus loin et se dire que la distance parcourue par la balle est également infinie ! Après tout, si l'on compte bien, on voit aussi apparaître une somme infinie :


En fin de compte notre balle n'atteint jamais l'arrivée, mais parcoure tout de même une distance infinie. C'est complètement absurde. On s'est forcément trompé quelque part. Et la seule chose qu'on a énoncée comme évidente, intuitive, c'est qu'une somme de termes positifs augmente toujours vers l'infini. C'est donc forcément là que quelque chose s'est passé. Comme quoi, les intuitions sur l'infini...
Ça n'en reste pas moins étrange, et ça mérite d'investiguer un peu. Qu'est-ce qui fait qu'ici cette somme infinie ne diverge pas, alors ? Eh bien d'abord, si on regarde plus attentivement les termes de cette somme, on voit qu'il s'agit en fait des inverses des puissances de 2. On dit que cette somme est une série géométrique, de raison ½. Et la caractéristique des puissances, c'est qu'elles augmentent très rapidement. De fait, nos inverses diminuent donc très rapidement eux aussi (on le voit bien sur les courbes).

Courbes des puissances de 2 et de leurs inverses
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Ce qui découle de cette décroissance très rapide, c'est qu'au lieu de diverger, cette somme se rapproche toujours un peu plus d'une valeur bien déterminée. On dit que cette somme converge vers cette valeur. Ici, on sent bien que cette valeur est 1 (on pourrait le montrer proprement, mais c'est mine de rien assez technique si l'on ne veut pas admettre de formules). On a donc un résultat qui n'était au départ pas évident du tout : une somme infinie de termes positifs peut converger vers un résultat totalement fini !

Un problème de réglé ! Mais maintenant, on peut assez légitiment se demander ce que cela veut dire, « diminuer rapidement » pour les termes d'une somme infinie. Déjà, on sent bien à travers cet exemple que les inverses sont ici important, mais est-ce suffisant ? Toute somme d'inverses décroissante converge-t-elle ? Ce serait beau. Pour éclairer un peu ça, on va se pencher sur la somme d'inverses la plus simple que l'on puisse imaginer, appelée la série harmonique :


Je ne vais pas faire durer le rêve très longtemps, cette somme diverge malheureusement, nos espoirs tombent en miettes. Mais cela, il faut le montrer ! Et ici, ce n'est pas aussi facile que cela pourrait en avoir l'air étant donné la simplicité de l'exemple, mais on va quand même essayer. Pour ça on utilise une technique assez courante, on va minorer notre somme par un autre, dont on sait à coup sûr qu'elle diverge, c'est-à-dire trouver une autre somme qui, pour un même nombre de termes, est toujours inférieure à la série harmonique et qui va vers l'infini. Forcément, si on trouve une telle somme, c'est que notre série harmonique va aussi vers l'infini. Let's go !
Tout d'abord, regardons quelques valeurs de notre somme. Si l'on ne garde que le premier terme, on trouve évidemment 0,5. Si l'on garde les 3 premiers termes, on trouve cette fois environ 1,08, ce qui est légèrement supérieur à 1. Avec les 7 premiers termes, on obtient environ 1,71, supérieur à 1,5. Vous me voyez venir ? Si l'on considère la somme des 2n-1 premiers termes, on peut en faite la minorer par n/2. Il en résulte donc qu'on a bel et bien trouvé la somme qui nous intéressait, il s'agit tout simplement de celle-ci :


Et cette somme là, pas de doute, elle diverge ! Qu'importe le nombre que l'on prenne, on trouvera toujours un nombre de termes donnant une somme supérieur à ce nombre. On peut même aller un peu plus loin que cette minoration et voir que le comportement de la série harmonique est en un sens comparable à celui d'une fonction bien connue, le logarithme népérien, nous donnant un aperçu des raisons qui font que cette somme diverge bien. Sur le graphique ci-dessous, on a les points de la somme et en bleu la courbe du logarithme, et la similarité entre les deux objets se voit assez bien.

Courbes superposées du logarithme népérien et la série harmonique
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Bref, maintenant que nos espoirs se sont volatilisé dans l'espace infini de nos erreurs, essayons de voir ce qui a fait capoter notre tentative. Une grande différence entre la série harmonique et la première somme que nous avons étudié se trouve dans leur nature. Ce qu'il faut alors bien comprendre dans une somme infinie, c'est qu'une véritable lutte s'engage entre deux phénomènes : la décroissance de la suite d'une part, et la somme des termes positifs d'autre part. Dans le cas de la série harmonique, c'est bien la somme qui l'emporte, les termes de la somme ne diminuent pas suffisamment vite. Cependant, dans le cas de la série géométrique, la décroissance induite par les puissances est si forte que la somme converge. C'est d'ailleurs le cas de toute série géométrique de raison inférieure strictement à 1 (les termes d'une série géométrique de raison supérieure à 1 sont de toute façon croissants, on dit que la série diverge grossièrement).
Mais on peut également généraliser le cas de la série harmonique. Et pour ça, je propose de voir une autre somme, celle des inverses des carrés (promis, c'est la dernière) :


On va montrer que cette somme infinie converge, et pour cela, on va chercher cette fois à la majorer (le contraire de minorer) par une somme infinie dont on est sur qu'elle converge. Étant donné que notre somme est forcément croissante (on ne fait qu'ajouter des termes positifs), on saura alors qu'elle converge elle aussi. Seulement cette fois, il y a un peu plus de calcul que dans le cas de la série harmonique. Hop, on s'y met !
Donc, tout d'abord, remarquons que si l'on a un carré n2, il est supérieur au nombre n(n - 1). Ainsi, étant donné que notre nombre au carré est toujours supérieur à 2, on a nécessairement, pour les termes de notre somme :

                    
On découvre donc que l'on peut majorer notre somme par une autre, qui ne paraît pas beaucoup plus simple au premier abord :


Sauf que l'on peut aussi remarquer une égalité très utile :
Et notre somme est en réalité bien plus simple :


De fait, si l'on regarde attentivement, on voit que presque tous les termes de notre somme s'annulent avec le suivant ! Ainsi, si l'on regarde les n premiers termes de notre somme, on se retrouve avec le simple nombre : 
Et donc, plus on a de termes à notre somme, plus elle s'approchera de 1, elle converge vers 1. On a donc réussi notre objectif, notre somme est majorée par une autre somme convergente, la somme des inverses des carrés converge donc bel et bien, et vers une valeurs nécessairement inférieure à 1. Ici, la décroissance des termes a gagné sur la somme.

Courbe de la somme des inverses des carrés
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Pour résumer, bien qu'elles soient assez similaire dans la conception, la série harmonique et la somme des inverses des carrés ont un comportement très différent. On peut en réalité généraliser les choses sur les sommes infinies des inverses des nombre à une puissance fixée. Dans le cas ou cette puissance vaut 1, c'est la série harmonique, dans le cas où cette puissance vaut 2, c'est la somme des inverses des carrés. On appelle ces sommes infinies particulières les séries de Riemann, du nom de Bernhard Riemann, un mathématicien allemand qui les a beaucoup étudiées, notamment dans des  cas bien plus complexes (et ce mot n'est pas utilisé à la légère, wink wink) que le notre. On peut, en fonction de la valeur de cette puissance déterminer si cette somme infinie converge ou diverge. La règle est plutôt simple, si cette puissance est inférieure ou égale à 1, la somme infinie diverge et sinon, elle converge. La série harmonique est donc encore plus intéressante : c'est un cas limite, de basculement, pour ces types de sommes. La preuve de cette règle est comparativement vachement plus compliquée que celles des cas particuliers que nous avons vus donc je ne la ferais pas (oui, je fuis).

À partir d'un paradoxe grec un peu tarabiscoté, on a mine rien découvert que des sommes infinies pouvaient avoir une valeur parfaitement finie, et que, dans certains cas, pour les séries géométriques et de Riemann, on pouvait même le déterminer sans faire aucun calcul !
À noter tout de même qu'aucune de ces règles ne nous donne la valeur vers laquelle ces séries vont converger...



Pour aller un peu plus loin :
Les paradoxes de Zénon : https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_de_Z%C3%A9non
La série harmonique : https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_harmonique
Un aperçu des travaux de Riemann sur ses séries : https://www.youtube.com/watch?v=dNpdMYB8pZs
« Modifié: 30 juillet 2018 à 12:57:29 par Zagreos »

 


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